Temat przewodni: Rozkład na czynniki pierwsze, OMJ:
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=50

Zadanie 1
Iloczyn kilku liczb naturalnych jest równy 1664. Największa z nich jest dwa razy większa niż najmniejsza. Ile jest tych liczb?
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=159

Zadanie 2
Wiadomo, że $$25!=15511\Box10043330985984\Box00000.$$ Czy potrafisz znaleźć brakujące cyfry sprytnie i bez użycia technologii? Czy ta liczba może być kwadratem liczby całkowitej? A sześcianem?
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=715

Zadanie 3
Czy istnieje taki sześcian, że długość jego krawędzi jest liczbą całkowitą, a jego pole powierzchni jest kwadratem liczby całkowitej?
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=2007

Zadanie 4
Podaj przykład takiej liczby naturalnej dodatniej n, że 2n jest kwadratem, 3n jest sześcianem, a 5n jest piątą potęgą liczby naturalnej. Ile jest takich przykładów?
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=2560

Zadanie 5
Dana jest liczba całkowita n o tej własności, że liczba 2n jest sześcianem liczby całkowitej, a liczba 3n jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, że liczba n jest podzielna przez 108.
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=3238

Zakończenie:
https://youtu.be/4RCZw0BCwMc?t=3798

Zadanie 1
Ile trójkątów można zbudować z odcinków długości: 1, 2, 3, 4, 5, 6? Odcinki mogą się powtarzać.
https://www.youtube.com/live/JaiBx6EmeiA?t=147s

Zadanie 2
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 32. Jeden z jego boków zwiększono trzykrotnie i uzyskano trójkąt o obwodzie 48. Jakie mogły być długości boków wyjściowego trójkąta?
https://www.youtube.com/live/JaiBx6EmeiA?t=888s

Zadanie 3
Pająk i mucha siedzą w przeciwległych wierzchołkach pokoju w kształcie sześcianu. Pająk chciałby dotrzeć do muchy jak najkrótszą drogą (po ścianach, podłodze lub suficie). Jak powinien iść? Ile ma dróg do wyboru?
https://www.youtube.com/live/JaiBx6EmeiA?t=1222s

Zadanie 4
Suma pięciu parami różnych liczb całkowitych dodatnich jest równa 17. Czy musi być wśród nich liczba: 2? 3? 4?
https://www.youtube.com/live/JaiBx6EmeiA?t=1638s

Zadanie 5
Czy istnieje czworościan, w którym długości krawędzi są sześcioma różnymi liczbami całkowitymi, a ich suma jest równa 25?https://www.youtube.com/live/JaiBx6EmeiA?t=2061s

Zadanie 1
Oblicz:$$11^2,\quad 111^2,\quad 1111^2,\quad 111111111111^2.$$ Co zauważasz? Jak to wyjaśnić?
https://www.youtube.com/live/aqG4a7OGlkE?si=od-y9sveChD-6TsP&t=374

Zadanie 2
Pewna liczba nieparzysta przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Jaka może być reszta z dzielenia tej liczby przez 6?
https://www.youtube.com/live/aqG4a7OGlkE?si=NpQDE6bfYgZc-Qd5&t=1032

Zadanie 3
Staś napisał na tablicy liczby 1, 2, 3. W jednym ruchu może zetrzeć dowolną z napisanych liczb i zamiast niej napisać liczbę będącą sumą dwóch pozostałych. Czy po pewnej liczbie takich ruchów na tablicy może pojawić się trójka liczb: 966, 1410 i 2376?
https://www.youtube.com/live/aqG4a7OGlkE?si=FqKeIeFWvstiIq6q&t=1690

Zadanie 4
Początkowo na tablicy napisane są liczby 2 oraz 5. Ruch polega na zastąpieniu jednej z dwóch liczb napisanych na tablicy ich sumą. Czy po wykonaniu pewnej liczby ruchów można uzyskać sytuację, w której na tablicy napisane są dwie kolejne liczby naturalne?
https://www.youtube.com/live/aqG4a7OGlkE?si=bRL4EFUBy071X5J3&t=2345

Zadanie 5
Liczbę całkowitą nazwiemy olimpijską, jeśli można ją uzyskać z liczby 1 w wyniku wykonania pewnej liczby operacji polegających na zwiększeniu liczby o jej cyfrę jedności. Początkowymi liczbami olimpijskimi są więc 1, 2, 4, 8, 16, 22, 24, 28, 36, …
Wykaż, że kwadrat liczby olimpijskiej jest liczbą olimpijską
https://www.youtube.com/live/aqG4a7OGlkE?si=vmoo0paWOZJnKAYJ&t=3052

Zadanie 1

• Dany jest równoległobok ABCD. Na odcinku CD leżą takie
  punkty X i Y , że
  <)XAB = <)XAD oraz <)Y BA = <)Y BC.
  Wykaż, że CX = DY .

https://www.youtube.com/live/B1RzyUj3ZLw?si=o-YTTS3RMQz5BC3R&t=286

Zadanie 2

• W zapisie dziesiętnym dodatniej liczby całkowitej n każda
  cyfra jest różna od 0 oraz żadna cyfra nie pojawia się więcej niż
  raz. Ponadto liczba n jest podzielna przez każdą ze swoich cyfr.
  Wykaż, że liczba n ma co najwyżej 7 cyfr.

https://www.youtube.com/live/B1RzyUj3ZLw?si=_nXyHygHCT_HG8kN&t=790

Zadanie 3

• Pola prostokątnej planszy 1×100 są ponumerowane kolejno
  liczbami całkowitymi od 1 do 100. Pionek początkowo stał na
  polu o numerze n. W pierwszym ruchu przesunięto go o jedno
  pole, w drugim — o dwa pola, w trzecim — o trzy pola itd.
  Okazało się, że po wykonaniu 99 ruchów pionek odwiedził każde
  pole dokładnie raz. Wyznacz wszystkie możliwe wartości n.
  Uwaga. Przesunięcie pionka o k pól oznacza bezpośrednie przemieszczenie go między polami, których numery różnią się o k.

https://www.youtube.com/live/B1RzyUj3ZLw?si=elX0ykaysxqtLS2J&t=1441

Zadanie 4

• Dany jest trapez ABCD o podstawach AB oraz CD.
  Punkty P i Q leżą odpowiednio na odcinkach AB i CD, przy
  czym AQ=BQ oraz CP =DP. Wykaż, że AP +DQ=BP +CQ.

https://www.youtube.com/live/B1RzyUj3ZLw?si=VOjo-BJoolNKrEMX&t=2420

Zadanie 5

• Dane są dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c o tej własności,
  że każda z liczb ab, bc, ca jest większa od a+b+c. Wykaż, że
  1/a + 1/b + 1/c <1

https://www.youtube.com/live/B1RzyUj3ZLw?si=VOjo-BJoolNKrEMX&t=2420

Zadanie 1

• Dwie beczki zawierają razem 240 litrów wody. Gdyby z pierwszej beczki przelać do drugiej tyle litrów wody, żeby zawartość drugiej beczki podwoiła się, a następnie z drugiej beczki przelać do pierwszej tyle litrów wody, żeby zawartość pierwszej beczki podwoiła się, to w obu beczkach będzie jednakowa ilość wody. Ile litrów wody było pierwotnie w każdej beczce?

https://www.youtube.com/live/xEtDQ1dB8ag?si=uZ8LpPOyv-PvOC6A&t=183

Zadanie 2

• Wielki bogacz Kaczor Kwak postanowił podzielić swój majątek. Piątą część oraz milion dostał Hyzio, piątą część reszty i dwa miliony dostał Zyzio. Dyzio otrzymał piątą część reszty i trzy miliony, a Donald z tego, co zostało, otrzymał piątą część i cztery miliony. Jaki majątek posiadał Kaczor Kwak?

https://www.youtube.com/live/xEtDQ1dB8ag?si=kEr8nl15jU0bVGq6&t=432

Zadanie 3

• Ile dróg idących zgodnie ze strzałkami prowadzi z punktu A do punktu B?
  
  

https://www.youtube.com/live/xEtDQ1dB8ag?si=zha-rFoa-sccmFCz&t=1032

Zadanie 4

• Na początku na tablicy napisana jest liczba 1. W jednym ruchu, jeśli przez n oznaczymy liczbę na tablicy, gracz może zastąpić ją jedną z liczb n+1 lub 2n. Wygrywa gracz, który zapisze na tablicy liczbę 67. Który z graczy ma strategię wygrywającą?

https://www.youtube.com/live/xEtDQ1dB8ag?si=KTOLVk-XuoP3T7Pj&t=1441

Zadanie 5

• Jacek ma 10 kart ponumerowanych kolejno liczbami od 1 do 10, które układa na stole w rzędzie, w dowolnej wybranej przez siebie kolejności. Jacek będzie zdejmować karty ze stołu w kolejności zgodnej z numeracją kart: wpierw zdejmie kartę o numerze 1, potem kartę o numerze 2 i tak dalej. Zanim Jacek zacznie zdejmować karty, Placek pokoloruje każdą z kart na czerwono, niebiesko lub żółto. Udowodnij, że Placek może pokolorować karty w taki sposób, że podczas ich zdejmowania przez Jacka w każdym momencie spełniony będzie następujący warunek: pomiędzy dowolnymi dwiema kartami tego samego koloru znajduje się co najmniej jedna karta innej barwy.

https://www.youtube.com/live/xEtDQ1dB8ag?si=oKLxe2u0NSXvXC3j&t=2650

Zadanie 1

• Suma liczb całkowitych a i b jest podzielna przez 3, zaś różnica a–b jest podzielna przez 4. Pokazać, że liczba 13a+b jest podzielna przez 6.

https://www.youtube.com/live/znAWicCJbJE?si=u_I8Pe6ifR8fvrOi&t=90

Zadanie 2

• Znajdź wszystkie takie dodatnie liczby całkowite n, dla których zachodzi podzielność $$n+2\mid3n+21$$

https://www.youtube.com/live/znAWicCJbJE?si=WoiGBfOX7l_7cauG&t=1055

Zadanie 3

• Dane są liczby całkowite a i b, takie że liczba 6a+11b jest podzielna przez 31. Wykaż, że liczba a+7b jest podzielna przez 31.

https://www.youtube.com/live/znAWicCJbJE?si=LacA9D7wsVFFbtgI&t=1459

Zadanie 4

• Znajdź wszystkie dodatnie liczby całkowite a i b takie, że liczba a+b jest podzielna przez ab.

https://www.youtube.com/live/znAWicCJbJE?si=vk9bj3nKipRQfbPv&t=2273

Zadanie 5

• Dane są dodatnie liczby całkowite a i b, dla których liczba 5a+3b jest podzielna przez liczbę a+b. Wykaż, że a=b.

https://www.youtube.com/live/znAWicCJbJE?si=nqm3xw6xVb6TJp6R&t=2904

Zadanie 1

• Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite, które są dokładnie 10 razy większe od sumy swoich cyfr.

https://www.youtube.com/live/CMYOCTM3ckY?si=Hj0Ynb05lIhoQauB&t=163

Zadanie 2

• Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym
  ∠DBC + ∠BCD = ∠CDA.
  Wykaż, że AD = DB.

https://www.youtube.com/live/CMYOCTM3ckY?si=4eHo3IebV8Z8dGvp&t=1063

Zadanie 3

• Dana jest dodatnia liczba całkowita n, której każdy dzielnik pierwszy jest mniejszy niż 10. Okazało się, że liczba n jest kwadratem liczby całkowitej, zaś liczba n²
  jest sześcianem liczby całkowitej. Wykaż, że liczba n³
  jest osiemnastą potęgą liczby całkowitej.

https://www.youtube.com/live/CMYOCTM3ckY?si=boIX-GK6qjQXYw7P&t=1501

Zadanie 4

• Dodatnia liczba n jest 9 razy większa od sumy swoich cyfr. Udowodnij, że liczba n jest podzielna przez 81.

https://www.youtube.com/live/CMYOCTM3ckY?si=9cCuwFgDUWyzl-lS&t=2180

Zadanie 5

• Jaś ma monety o łącznej wartości równej dokładnie 105 złotych, przy czym każda z tych monet jest dwuzłotówką albo pięciozłotówką. Wykaż, że dla każdej liczby n podzielnej przez 5 i mniejszej niż 105. Jaś może spośród tych monet wybrać takie, których łączna wartość jest równe dokładnie n złotych.

https://www.youtube.com/live/CMYOCTM3ckY?si=8W9kFgb4BdFNXiwt&t=2589